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(un post analogo o identico a questo sarà pubblicato sul blog di ASPO Italia)

fig6Già nelle raccomandazioni di LTG è presente una serie di warning fra i quali spiccano due o tre punti: non esiste una soluzione tecnologica del problema dei limiti e la ineguale suddivisione della ricchezza è una aggravante, punti determinanti che d’altronde fanno parte in qualche modo del panorama che anche uno sprovveduto può farsi della situazione umana contemporanea.

Abbiamo spesso discusso in ASPO di queste cose e qualcuno di noi ha anche tentato di costruire un ponte fra i vari punti di vista che si sono occupati delle transizioni che avvengono in vicinanza di momenti di crisi, come quello che ragionevolmente si approssima e che stiamo per vivere. Personalmente sono anni che sostengo che la divisione in classi è un elemento centrale che DEVE essere inserito nella modellazione, così come la dinamica ecologica deve diventare la 4 gamba del marxismo moderno.

In effetti c’è da dire che il punto di vista che la società umana ha vissuto già altre crisi di risorse di tipo “locale” e che a volte le ha potute superare ma altre no inizia a far parte del bagaglio di conoscenza che gli storici e gli umanisti oltre che gli archeologi o gli scienziati in genere hanno del passato umano. Certo la crisi che si avvicina ha tutte le carte in regola per essere la madre di tutte le crisi, dato il suo carattere mondiale globale, ma questo è un altro discorso.

Alcuni di questi punti di vista, come per esempio il marxismo, centrano le dinamiche sociali sulla battaglia fra le classi e concludono come Marx nel Manifesto che tale battaglia “ si è ogni volta conclusa con una trasformazione rivoluzionaria dell’intera società o con il comune tramonto delle classi in conflitto”.

Marx non conosceva la matematica a sufficienza e comunque non ebbe il tempo per rappresentare tali dinamiche in modo formale; e quindi tali affermazioni possono apparire apodittiche o ideologiche; tuttavia la decadenza sociale è ormai una acclarata dinamica storica che è apparsa in libri e volumi; basti pensare a Tainter o Diamond.

All’opposto nelle descrizioni formali moderne, a partire da quella di LTG ma anche in tutte le altre che si sono succedute nell’era dell’automazione e dell’informatica, un’era che valorizza il concreto, l’applicazione, che sfugge spesso alle generalizzazioni a vantaggio dell’analisi approfondita ma limitata e che chiama retroazione il meccanismo che la filosofia del passato chiamava dialettica, ma in compenso ne estrae la legge di svolgimento in forma matematica e riproducibile, in quest’era dicevo si è potuto costruire più di un modello matematico del processo stesso di scontro.

Quello di cui parlo oggi è un modello specifico che ha però una importante differenza con tutti quelli che lo hanno preceduto: ha cercato con successo di incorporare nel modello stesso lo scontro sociale; quindi a differenza di LTG e di altri modelli e della corrente concezione di ASPO Italia che pur riconoscendo la presenza della diversità sociale non la incamera negli elementi centrali, in quelli che Donella Meadows avrebbe chiamato “leverages” i meccanismi centrali i meccanismi di azione centrali del sistema, questo modello ne riconosce la natura centrale e la importanza.

La prima parte dell’articolo è una superba introduzione ai temi della decadenza e del collasso con un eccezionale numero di riferimenti utili e mi piace soprattutto l’idea che il collasso di vario tipo (temporaneo o permanente) rappresenti una modalità di funzionamento della nostra specie a causa della stratificazione sociale.

L’articolo è in corso di pubblicazione su Ecological economics se ne trovano varie versioni ma quella ultima sottomessa al giornale è la seguente:

Human and Nature Dynamics (HANDY): Modeling Inequality and Use of Resources in the Collapse or Sustainability of Societies di Safa Motesharrei, Jorge Rivas, Eugenia Kalnay

http://www.atmos.umd.edu/~ekalnay/pubs/2014-03-18-handy1-paper-draft-safa-motesharrei-rivas-kalnay.pdf

I tre autori sono dei matematici applicati e il lavoro si ispira e cita LTG, Daly e ringrazia Yakovenko, un econofisico di origine russa che quindi non puo’ essere digiuno di marxismo. Mi piace notare che Motesharrei è un ingegnere elettrico, ossia è della stessa razza di quel Tustin che avevo notato in passato come capace di introdurre la correlazione fra retroazione e dialettica in un testo scientifico.

Di cosa si tratta esattamente?

Si inizia dalla teoria di Lotka-Volterra, i due matematici dell’inizio del 900 (1924-25) che hanno elaborato una analisi dell’andamento delle popolazioni di preda e predatore in un contesto naturale e poi ci si sposta in una situazione in cui la preda sono le risorse naturali e il predatore la specie umana , ma considerata non come altre volte è stato fatto, come una singola entità, priva di struttura interna , ma  come una entità strutturata in due strati, o come direbbe Marx due classi che il lavoro chiama Commoner ed Elite, con chiaro significato. Il lavoro polemizza con chi non  ha considerato l’umanità una entità dotata di struttura, ossia con James A. Brander and M. Scott Taylor. The simple economics of easter island: A ricardo-malthus model of renewable resource use. The American Economic Review, 88(1):119–138, 1998.

Rimando ad altri testi per una considerazione storica dell’equazione e della sua origine (Lotka avanzò la teoria che i concetti di selezione naturale proposti da Darwin potevano essere quantificati come una legge fisica. La legge che propose era che il principio di selezione evolutiva era quello che favoriva la trasformazione della massimo flusso di energia disponibile. L’ecologo Howard T. Odum in seguito applicò tali concezioni di Lotka come principi di riferimento nei suoi lavori di ecologia degli ecosistemi. Odum chiamò la legge di Lotka il principio della massima potenza. Vito Volterra contribuì alle equazioni partendo dalla equazione di Verhulst che spesso usiamo nei nostri discorsi aspisti e che è la cosiddetta curva sigmoide o logistica.)

La teoria di Lotka Volterra è espressa in genere  usando due equazioni cosiddette differenziali, ossia che esprimono l’andamento non tanto della grandezza che ci interessa in se ma della sua velocità; quindi le due equazioni che adesso vedrete indicano la velocità con cui le due popolazioni variano; è un po’ come l’equazione del picco, il quale in quanto trend della produzione di un bene o del suo consumo se si vuole è una rappresentazione della velocità con cui la risorsa viene consumata, la risorsa è la sigmoide e la curva del picco la sua derivata, ossia appunto la sua velocità di variazione.

Nel caso della singola risorsa, cioè dei casi che analizziamo di solito, come il petrolio, avremo una cosa del tipo seguente; Verhulst che la ha inventata considerava P la popolazione, ma non cambia nulla se la consideriamo una risorsa generica:

         fig1

dove P è la risorsa e quindi il termine dP/dt rappresenta la sua velocità di variazione nel tempo; tale velocità che è quindi rappresentata da una cosiddetta derivata a volte indicata anche da una P con un punto sopra la lettera; questa velocità di produzione o di consumo se volete (o di crescita della popolazione) sarà proporzionale sia alla risorsa esistente P, che  alla differenza fra la risorsa totale che esisteva all’inizio, ossia K e la proporzione che ne abbiamo già estratta, ossia (1-P/K); K potrebbe dipendere nel caso della popolazione dal carico che l’ambiente può sostenere; le proporzionalità dipendono nel nostro caso dalla frazione residua di risorsa (1-P/K) ma anche da quanto ne abbiamo prodotta e quindi dalla nostra abilità tecnica; ovviamente queste proporzionalità sono semplificazioni ma danno come risultato che la curva di P e di dP/dt vengono fuori dal calcolo come le conosciamo, una sigmoide e il picco famoso. Per la cronaca la soluzione generale per la P è del tipo

fig2

In questo grafico la curva continua rappresenta la P, anzi la –P, cambiata di segno per indicare che si sta consumando qualcosa, ma nel caso della popolazione sarebbe una sigmoide in salita non in discesa come questa e la curva continua è invece (sempre cambiata di segno, ossia –dP/dt) la velocità con cui la risorsa scompare ossia il picco famoso

fig3

La procedura da usare per Lotka-Volterra è analoga, si scrivono le equazioni per le derivate delle popolazioni e poi si cerca la funzione originale, ossia si “integra” la derivata. Ma nel caso di Lotka Volterra si fa di più perché ci si chiede se i trend delle funzioni siano “stabili” ossia se vadano verso condizioni di equilibrio o no.

Le due specie (indicate qui con x e y e le trovate in molti  casi x per le prede e y per i predatori ma anche il rovescio come faremo noi) sono quindi per noi x i predatori e y le prede e x e y col punto sopra sono usati al posto del simbolo dx/dt e dy/dt per indicare la velocità con cui cambiano nel tempo.

fig4la velocità con cui cambiano i predatori è data dalla somma di due termini di cui il primo è dato dal prodotto axy, in pratica quando un predatore incontra una preda ha una probabilità a di mangiarsela, mentre poi c’è un termine negativo – bx che dice che i predatori muoiono con una probabilità b. La preda y invece che fa? Da una parte aumenta con una probabilità c in pratica si dà per scontato che ci sia roba da mangiare e dall’altra diminuisce quando incontra x, con una probabilità d, quindi un termine negativo –dxy.

Se il sistema è stazionario cosa succederà? Che le due variazioni saranno nulle, cioè se il sistema è stazionario le variazioni delle due popolazioni saranno 0, quindi le due equazioni saranno pari a zero.

Se poniamo a zero le due espressioni avremo due equazioni algebriche stavolta axy=bx e cy=dxy, le quali ammettono due coppie di soluzioni. Infatti c’è una prima soluzione banale, x=0 e y=0 e una seconda soluzione che è y=b/a e x=c/d. La soluzione banale non è interessante dal punto di vista fisico ma come vedremo lo è dal punto di vista dei metodi per analizzare il comportamento delle soluzioni. Ma perché dovremmo occuparcene di questo comportamento? Il motivo è che nei casi reali non esistono solo c/d predatori e b/a prede ma un numero diverso (e sottolineo qui anche intero di entità, non esistono frazioni di preda e di predatore, ma questo è un limite del modello matematico fatto con numero reali) e che varia nel tempo quindi che succede se esistono m prede e n predatori? Come si comporterà il sistema? Si dice che si studia allora la “stabilità” delle soluzioni, ossia una certa soluzione “attrae” al proprio valore il sistema o no? Nel primo caso si dice che è stabile.

Non sto a spiegarvi i metodi che si usano che si chiamano cose come “metodo dello Jacobiano” ed altri nomi strani, Hessiano e cose così, e dipendono nella sostanza da tabelle di derivate (le tabelle di simboli in matematica sono chiamate matrici ed hanno complicate proprietà). Il primo di questi metodi è un metodo cosiddetto lineare, ossia suppone che il comportamento si possa approssimare con la semplice idea della proporzionalità. Tale metodo detto Jacobiano si basa sul calcolo del cosiddetto determinante della matrice Jacobiana che dato che questa matrice nel nostro caso è piccola, una tabella di soli 2×2 elementi, è facile; se la si applica alle due soluzioni che abbiamo trovato si vedono le seguenti cose:

1)     la soluzione banale 0,0 non è un attrattore, la sua forma tridimensionale assomiglia ad una superficie a sella e quindi non riesce ad attrarre il comportamento del sistema; in un certo senso questo protegge le specie dei predatori dalla distruzione; basta che sopravviva una piccola parte di predatore e si ottiene un comportamento che i matematici chiamano dell’atto-volpe; perché atto? Perché  atto-è il prefisso di 10-18 di qualcosa; basta una attovolpe per far risorgere le volpi (o i lupi, se volete, i predatori) che si fossero ridotte di numero; si tratta di un effetto paradossale ma ci dice che i sistemi biologici ed ecologici a rete sono molto stabili, o meglio tendono a non essere instabili.

2)     La soluzione c/d predatori e b/a prede è invece una soluzione particolare perché da una parte non attrae, il comportamento del sistema in questa versione non spiraleggia verso di esso, ma possiede una quantità che si chiama costante del moto; in pratica il comportamento tende ad essere stazionario e i numeri di prede e predatori “ruotano” attorno alla soluzione trovata

fig5

La soluzione calcolata è rappresentata dal punto nero centrale; le prede y e i predatori x ruotano l’uno attorno all’altro; quando le prede sono molte i predatori se le mangiano e le riducono di numero ma crescono loro; poi senza prede loro si riducono e le prede ricrescono e così via all’infinito; questo è un diagramma di fase del ciclo preda predatore (vi ricordate che avevo provato a fare un diagramma di fase del petrolio tempo fa? Niente di strano il petrolio è la preda e noi il predatore, comunqe lì parlavo di prezzo del petrolio). Se si riportano le prede e i predatori nel tempo si ottiene invece lo schema più conosciuto che vedete qui:

fig6

Se mi avete seguito fin qui siete in buona posizione per apprezzare la proposta dei tre matematici applicati che come spesso avviene si occupano poi d’altro, clima, economia e altre cose; ma la matematica ha questo di stupendamente irragionevole, che va bene sempre, è la irragionevole abilità della matematica di rappresentare il mondo, come diceva Galileo (che diceva che il linguaggio dell’Universo è matematico) e che dice Wigner (http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html). E’ anche il problema degli economisti, che dall’alto della loro conoscenza matematica credono di sapere tutto, ma si è visto che non gli basta; solo che per esautorarli dal potere che hanno sul mondo ci vuole che anche noi ci impariamo la matematica e ne troviamo i….limiti.

Il modello dell’articolo di Motesharrei si chiama Human And Nature DYnamics (HANDY).

Gli autori non giustificano perchè usano un modello di umanità a due strati, ma la cosa è semplice da capire; se leggete uno qualunque dei tre rapporti che qui vi indico concluderete con me che c’è una fortissima stratificazione economica nella specie umana, con una piccolissima parte dell’umanità che possiede una quota estremamente, irragionevolmente grande dei beni prodotti dall’uomo, ossia delle risorse strappate alla natura e che questo tratto caratterizzante dell’umanità è veramente strabordante.

Potete vedere i rapporti 2013 di grandi banche o quello 2014 di OXFAM che è una ONG per arrivare alla stessa conclusione

(1http://www.oxfam.org/sites/www.oxfam.org/files/bp-working-for-few-political-capture-economic-inequality-200114-en.pdf

2)    Global Wealth report 2013 di Credit Suisse

3)    World Wealth report 2013 di CapGemini)

La seguente tabella vi mostra la situazione:

fig7

Si tratta di numeri così grandi che non si può sbagliare: la divisione in classi esiste eccome e non è detto che noi e voi che parliamo siamo fra i poveri. Nell’articolo comunque si citano alcuni lavori di econofisica che analizzano in dettaglio i meccanismi della distribuzione della ricchezza. Wealth contrapposto a income equivale a proprietà non a reddito.

HANDY è questo sistema qua:

fig8

cosa vuol dire? Anzitutto è un Minimal Model for Human and Nature interaction, quindi cerca di catturare l’essenziale e nell’essenziale (ripeto nell’essenziale, rifletteteci) ci mette la divisione in classi.

Cosa vogliono dire le equazioni?

Le due popolazioni di predatori x commoner e x elite hanno le stesse leggi di comportamento con due fattori di nascita e morte; i due fattori di nascita sono eguali mentre quelli di morte sono usati diversi. Il termine y-punto che è la popolazione di risorse varia mediante due termini, il primo potremmo chiamarlo un termine di rigenerazione e il secondo un termine di deplezione, di perdita; il termine di perdita dipende dall’incontro con il predatore, come nel caso delle due equazioni classiche, mentre il termine di rigenerazione è a sua volta la somma di due parti, come nell’equazione logistica, il primo di ricrescita e il secondo di consumo interno che come vedete non dipende dal predatore umano, ma è intrinseco. La deplezione attiva, non intrinseca, dipende solo dai commoners, perché solo loro lavorano “produttivamente”. Il quarto termine è la ricchezza accumulata, w che cresce solo in proporzione al lavoro e quindi al numero dei commoners, ma diminuisce col consumo sia dei commoners che delle elitè le quali sono così delle elite di sfruttamento; la cosa può essere modificata in versioni future. I consumi delle due classi di predatori umani Cc e Ce dipendono dal rapporto k.

La ricchezza accumulata e conservata è un elemento che distingue enormemente l’uomo da altre specie, in quanto introduce nei meccanismi di retroazione un elemento di ritardo enorme che altrimenti non esiste; gli animali al massimo conservano per brevi intervalli la loro preda, mentre noi uomini atttraverso l’accumulazione della ricchezza siamo in grado di trasferire la nostra preda per tempi lunghissimi e quindi introduciamo un fattore di ritardo nella retroazione del sistema che non esiste quando si esaminino tipici sistemi preda-predatore. Ora è proprio la distribuzione di questo elemento di retroazione che distingue le classi; quindi per la prima volta troviamo un elemento matematico (e dialettico se mi consentite) che oggettivamente e non ideologicamente distingue fra le classi. La ricchezza è quindi definibile come un elemento che indebolisce la retroazione negativa, consentendo al sistema uomo ambiente di uscire dalla stazionarietà e dalla stabilità; la ricchezza è dunque un potente elemento di instabilità del sistema uomo-ambiente; e la sua distribuzione è ineguale, qui sta la scoperta a  mio parere di questo storico articolo! La ricchezza è “il diavolo” in un certo senso, ossia l’elemento che rallentando l’azione dei meccanismi di retroazione negativa e di stabilizzazione del sistema prepara le condizioni del suo collasso: la ricchezza come elemento di dualità, come potente elemento di instabilità e di innovazione.

Queste due quantità, Cc e Ce abbisognano di due ulteriori definizioni che non sono inserite esplicitamente nelle 4 equ principali, ma solo per semplicità di rappresentazione , in pratica ne fanno parte integrale:

fig9

qui il consumo può andare sotto una soglia wth, che segna l’inizio della fame

fig10

Tuttavia a causa del rapporto k i Commoners iniziano a sperimentare la fame ben prima delle Elites.

Fin qui la descrizione dell’essenziale del modello. Quale dinamica si manifesta nel modello?

L’articolo distingue varie situazioni dinamiche e varie condizioni al contorno; per esempio le tre situazioni dinamiche sono: il soft-landing ovvero il raggiungimento lento di una situazione di equilibrio con la capacità di sopportazione dell’ambiente, possibile quando il consumo non sia eccessivo; un raggiungimento oscillante della medesima situazione quando il consumo iniziale sia più elevato (denominato collasso di tipo 1 o di tipo N) e il collasso vero e proprio di tipo II o di tipo F con la riduzione estrema o al limite la totale distruzione dei consumatori.

L’articolo distingue anche tre tipi di condizioni al contorno: una situazione in cui non vi sia eguaglianza, che è quella attuale, quindi Xe diverso da zero e k>1, una in cui vi sia eguaglianza (xe =0), ed un terzo caso che gli autori definiscono equitable, ossia equa o giusta in cui xe può diventare il numero di coloro che per vari motivi non lavorano: troppo giovani, troppo vecchi, malati etc. ma in cui quindi k=1 anche se xe diverso da zero, l’elite non è lo sfruttatore ma colui che per più motivi non può lavorare o produrre. Anche questo approccio mi sembra innovativo: in sostanza tende a dare una base ecologica all’idea di solidarietà sociale.

Quali sono le conclusioni dell’articolo?

Anzitutto le tre modalità di dinamica sono comuni alle tre situazioni al contorno, cioè in questo modello semplificato ogni tipo di società umana può approcciare lo stato stazionario o oscillare o arrivare ad una situazione di collasso totale; ovviamente c’è da dire che una condizione al contorno di tipo diseguale, come è il moderno capitalismo si negherebbe, se arrivasse allo stato stazionario perchè perderebbe la possibilità di crescere, in questo senso occorre vedere i limiti di un modello semplificato. Se la società disuguale avesse come condizione la crescita continua potrebbe solo arrivare ad un collasso definitivo.

Le società ugualitarie o equitabili possono collassare soprattutto perchè il livello medio dei consumi è troppo alto, mentre le società diseguali possono collassare sia per  questo medesimo motivo sia nel caso che le richieste di sfruttamento siano troppo esose; nel primo caso processi come la riduzione della giornata lavorativa possono servire e salderebbero la visione marxista e quella ecologista.

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3 thoughts on “Le classi e i limiti

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